La capitalisation d’une somme d’argent

Définition de la capitalisation

La capitalisation, c’est calculer la valeur acquise par une somme dans le futur, placée au taux t% pendant n périodes.

Calcul de la valeur acquise par un capital unique (C0)

Au bout d’un an : C₀ + C₀xt% = C₀(1+t%) = C₁

Au bout de 2 ans : C₁ + C₁xt% = C₀(1+t%)² = C₂

Au bout de n années : C_n = C₀(1+t)ⁿ

Par exemple, la valeur acquise (ce que l’on a placé augmenté des intérêts qui sont inclus dedans, c’est-à-dire la somme totale que l’on récupère à l’issue du placement) d’un placement de 15 000 € pendant une durée de 10 ans au taux nominal annuel de 4% est de :

C₁₀ = 15 000 x (1+0,04)¹⁰

C₁₀ = 22 203,66 €

Valeur acquise à la suite de n versements d’une somme a placée en fin de période au taux de i%

VA = a₁(1+i)^n-1 + a₂(1+i)^n-2 + a₃(1+i)^n-3 + … + a_n-1(1+i) + a_n

Cas particulier : Les sommes sont constantes : a₁ = a₂ = a₃ = … = a_n.

On a alors : VA = a (1+i)^n-1 + a(1+i)^n-2 + a₃(1+i)^n-3 + … + a_n(1+i) + a, soit :

Exemple : On fait 10 versements sur un PEL en fin d’année de 10 000 € chacun. La rémunération est de 2,75%. Combien récupère-t-on après le dernier versement ?

On a donc :

VA = (10 000[((1+0,0275)^10-1)])/0,0275 = 113 327,65 €